Question stringlengths 1 883 | Solution stringlengths 1 2.27k ⌀ | Answer stringlengths 1 4.34k ⌀ | Themes list |
|---|---|---|---|
а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? | б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. | а) Предположим, что это возможно, и сумма номеров рёбер, сходящихся в каждой из восьми вершин, равна x. Сложив эти суммы для всех вершин, получим 8x. С другой стороны, эта сумма равна удвоенной сумме номеров всех рёбер, так как номер каждого ребра входит в неё дважды. Вычислим эту сумму: 2·(1 + 2 + ... + 12) = 156.... | [
"Подсчет двумя способами",
"Степень вершины",
"Куб",
"Доказательство от противного",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов? | Сумма внешних углов 1978-угольника равна 360°. Поэтому у него должен быть угол, меньший 1°. | Не существует. | [
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника",
"Принцип Дирихле (углы и длины)"
] |
Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел? | Пусть 1979 = x² – y² = (x – y)(x + y). Поскольку 1979 – число простое, то существует единственное его представление в виде произведения двух натуральных чисел 1979 = 1·1979. Поскольку x – y < x + y, то x – y = 1, x + y = 1979, откуда x = 990, y = 989. | Одним способом. | [
"Разложение на множители",
"Уравнения в целых числах"
] |
В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое), после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель ... | Оценка. Поскольку каждый из трёх судей распределил набор мест с первого по десятое, то сумма мест, присуждённых всеми судьями всем участникам соревнований, равна 3·(1 + 2 + ... + 10) = 165.
С другой стороны, если победитель получил сумму не меньше 16, то все остальные получили сумму мест не меньше 17, и рассмат... | 15. | [
"Турниры и турнирные таблицы",
"Подсчет двумя способами",
"Доказательство от противного",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций ... | Приведём способ, позволяющий добиться требуемого порядка за четыре операции. Каждый раз будем снимать ровно половину колоды – 8 карт сверху и "врезать" снятую часть колоды в оставшуюся "через одну". Трансформация колоды при таких операциях показана на схеме:
| null | [
"Теория алгоритмов (прочее)",
"Двоичная система счисления",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10? | Предположим, что такая таблица существует, и подсчитаем, чему равняется сумма всех ее чисел. С одной стороны, таблица содержит 5 строк, сумма чисел в каждой из которых – 30, значит, искомая сумма равна 150. С другой стороны, в таблице 10 столбцов, сумма чисел в каждом из которых – 10. Отсюда общая сумма равна 100. Прот... | null | [
"Подсчет двумя способами",
"Числовые таблицы и их свойства",
"Доказательство от противного"
] |
Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1? | Условию задачи удовлетворяют одиннадцать чисел, равных 1/11. Сумма их квадратов равна 11·1/11 = 1/11 < 0,1. | Может. | [
"Примеры и контрпримеры. Конструкции",
"Числовые неравенства. Сравнения чисел."
] |
а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число). | б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа. | б) Как показано в задаче 30365, натуральное число имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом. | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Количество и сумма делителей числа"
] |
Из утверждений "число a делится на 2", "число a делится на 4", "число a делится на 12" и "число a делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое? | Если последнее утверждение верно, то будут верными также и первые три утверждения. Поэтому последнее утверждение не может быть верным. | Последнее. | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Математическая логика (прочее)"
] |
На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них.
Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными? | См. задачу 35134. | null | [
"Четность и нечетность",
"Инварианты"
] |
Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причём каждый из них весит не более одной тонны.
Сколько трёхтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз? | Будем грузить машины ящиками в любом порядке, следя лишь за тем, чтобы не наступила "перегрузка" машины. В результате на каждую машину будет погружено более 2 т. Значит, пяти машин заведомо хватит.
Четырёх машин может не хватить. Пусть, например, у нас есть 13 ящиков весом 10/13 т каждый. Тогда одна машина может ... | 5 трёхтонок. | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев",
"Процессы и операции",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же зарплату? | Понижение цен на 20% означает, что новая цена товара равна старой, умноженной на 0.8. Значит, на прежнюю зарплату можно купить товаров в
1 : 0,8 = 1,25 раз больше, то есть на 25% больше. | На 25%. | [
"Задачи на проценты и отношения"
] |
Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале? | Первое условие означает, что в зале не более 29 рядов. Действительно, если бы количество рядов было не меньше 30, то, очевидно, класс из 30 человек можно было бы рассадить не более чем по одному на каждый ряд.
Второе условие означает, что количество рядов в зале не менее 29. Действительно, если количество рядов ... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Числовые таблицы и их свойства"
] |
В одной из вершин а) октаэдра; б) куба сидит муха. Может ли она проползти по всем его рёбрам ровно по одному разу и возвратиться в исходную вершину? | а) Пусть, A, B, C, A1, B1, C1 – вершины октаэдра, причём (A, A1), (B, B1) и (B, B1) – пары противоположных вершин. Тогда любая пара вершин, кроме этих трёх, соединяется ребром. Путь мухи может быть следующим: ABA1C1BCAC1B1CA1B1A (см. рис.) | б) В каждой из восьми вершин куба сходится по три ребра. Это означает, что степень каждой вершины полученного графа нечётна, значит, путешествие совершить невозможно. | [
"Обход графов",
"Обходы многогранников",
"Степень вершины",
"Четность и нечетность"
] |
а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и
дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет.
|
б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.
| null | [
"Арифметическая прогрессия",
"Принцип крайнего (прочее)"
] |
Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и
форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что
в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что
стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и
перебирает неиспользованные стекла до тех пор, по... | Покажем сначала, что если в какой-либо момент осталось
не меньше 8 окон (и, соответственно, не меньше 8 стекол), то
стекло для какого-нибудь окна из оставшихся можно подобрать.
Действительно, разобрано не больше семи стекол, значит хотя бы
одно из восьми стекол, предназначавшихся заранее для восьми
... | null | [
"Процессы и операции",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Из бумаги склеено цилиндрическое кольцо, ширина которого
равна 1, а длина по окружности равна 4. Можно ли не
разрывая сложить это кольцо так, чтобы получился квадрат площади
2? | Отметим на одной кромке кольца диаметрально
противоположные точки A и C, а на другой — диаметрально противоположные точки B и D, повернутые относительно A и C на 90. На рис. а) изображен прямоугольник, получаемый из кольца разрезанием по образующей цилиндра . Сложив цилиндр по линиям AB, BC, CD и DA, получи... | Да, можно. | [
"Поверхность круглых тел",
"Развертка помогает решить задачу",
"Разные задачи на разрезания"
] |
Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей? | Это утверждение неверно. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, у которого и симметричный ему треугольник ADC относительно прямой AC. Середину общей стороны AC этих треугольников обозначим M. Из того, что медиана делит треугольник на две равновеликие части следует, что четырехугольник ABCD и точка M будут иско... | null | [
"Симметрия помогает решить задачу",
"Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
В каждый узел бесконечной клетчатой бумаги воткнута
вертикальная булавка. Иголка длины l лежит на бумаге параллельно
линиям сетки. При каких l иголку можно повернуть на 90°,
не выводя из плоскости бумаги? Иголку разрешается как угодно
двигать по плоскости, но так, чтобы она проходила между булавками;
толщиной булав... | Соединим отрезками всевозможные пары узлов клетчатой
бумаги, расстояние между которыми не превосходит l. Будем
считать, что один из концов O иголки не лежит ни на одном из
нарисованных отрезков (в противном случае этого можно добиться
небольшим шевелением иголки). Начнем поворачивать иголку вокруг
этого конца. Если в п... | null | [
"Малые шевеления",
"Целочисленные решетки (прочее)",
"Композиции поворотов",
"Поворот на 90∘",
"Процессы и операции"
] |
Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число m + 6 тоже хорошее, а если число n плохое, то и число n + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших? | Предположим, что число – хорошее, а n + 3 – плохое. Тогда с одной стороны, число n + 18 = (n + 3) + 15 должно быть плохим, а с другой стороны, это же число n + 18 = ((n + 6) + 6) + 6 должно быть хорошим.
Если же число n – плохое, а n + 3 – хорошее, то число n + 15 = ((n + 3) + 6) + 6 должно быть одновр... | null | [
"Деление с остатком",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Арифметика остатков (прочее)"
] |
Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску (не более одной пешки на каждое поле), если:
1) на поле e4 пешку ставить нельзя;
2) никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e4? | Оценка. Все поля доски кроме вертикали a, горизонтали 8 и самого поля e4 можно разбить на пары, симметричные относительно e4. Таких пар образуется 24. По условию, на поля каждой пары можно поставить не более одной пешки. Кроме того, можно поставить не более, чем по одной пешке на поля вертикали a и горизонтали 8. Та... | null | [
"Шахматные доски и шахматные фигуры",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Центральная симметрия помогает решить задачу"
] |
Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ? | Среди чисел от 1 до 1984 есть 992 чётных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 число,
делящиеся н... | 1979 двоек. | [
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители",
"Произведения и факториалы"
] |
В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.
а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36? | а) Впервые число 81 во втором ряду встретится под числом 999999999, следовательно, его номер будет 999999999 : 9 = 111111111. | б) Число 36 встретится первый раз во втором ряду под числом 9999, четыре раза подряд число 27 встретится раньше, например под числами 3969, 3978, 3987, 3996. | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Десятичная система счисления"
] |
На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983. | Обозначим данные точки M1, M2, ..., M1983. Рассмотрим на окружности две произвольные диаметрально
противоположные точки N1 и N2. Согласно
неравенству треугольника, учитывая, что N1N2 = 2, для каждой точки Mi можно записать MiN1 + MiN2 ≥ 2. Сложив эти неравенства, получим Значит, хотя бы одна из двух сумм в ле... | null | [
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Принцип Дирихле (углы и длины)",
"Линейные неравенства и системы неравенств"
] |
На центральном телеграфе стоят разменные автоматы, которые меняют 20 коп. на 15, 2, 2 и 1; 15 коп. на 10, 2, 2 и 1; 10 коп. на 3, 3, 2 и 2. Петя разменял 1 руб. 25 коп. серебром на медь. Вася, посмотрев на результат, сказал: "Я точно
знаю, какие у тебя были монеты" и назвал их. Назовите и вы. | Так как две 15-копеечные монеты размениваются на ту же комбинацию, что и набор из одной 10-копеечной и одной 20-копеечной монеты, то в исходном наборе у Пети не могло быть ни более одной 15-копеечной монеты, ни одновременно 10-копеечной и 20-копеечной.
Из монет 10 и 20 коп. невозможно получить 125 коп., значит, ... | Одна 15-копеечная монета и 11 гривенников. | [
"Раскладки и разбиения",
"Обратный ход"
] |
Две окружности пересекаются прямой l, как указано на рисунке.
Докажите, что угол ∠ABC = ∠DEM.
| Соединим точки B и E (см. рис.). Четырёхугольники ABEM и BEDC являются вписанными, поэтому
∠ABC + ∠CBE + ∠DME = 180° = ∠CBE + ∠CDE = ∠CBE + ∠DEM + ∠DME (угол CDE – внешний для треугольника DEM). Отсюда ∠ABC = ∠DEM.
| null | [
"Вписанные четырехугольники (прочее)",
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле."
] |
9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок? | Первое условие равносильно тому, что 1 кг ирисок стоит дешевле, чем 10/9 руб. = 1 руб. 111/9 коп. Аналогично, второе условие равносильно тому, что 1 кг ирисок стоит дороже, чем 11/10 руб. = 1 руб. 10 коп. Поэтому ответом в задаче является любая сумма, большая 1 руб. 10 коп. и меньшая 1 руб. 111/9 коп. Поэтому отве... | 1 руб. 11 коп. | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев"
] |
Петя написал на гранях кубика натуральные числа от 1 до
6. Вася кубика не видел, но утверждает, что | а) у этого кубика есть две соседние грани, на которых написаны
соседние числа; | null | [
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Куб",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами. | Пример требуемого расположения приведён на рисунке: | [
"Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] | |
У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней.
Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно один раз? | Мы имеем отмеченные точки двух типов: вершины и центры граней. Отрезки диагоналей граней соединяют попарно точки разных типов. Поэтому, проходя по этим отрезкам, мы будем встречать отмеченные точки в порядке чередования их типов, т.е. если мы в некоторый момент встретим вершину, то в следующий момент встретим центр гра... | Нельзя. | [
"Обходы многогранников",
"Четность и нечетность",
"Куб"
] |
Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх его цифр. Докажите, что:
а) число всех счастливых билетов чётно;
б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999. | а) Укажем два способа разбиения счастливых билетов на пары. | null | [
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Десятичная система счисления"
] |
В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки? | Возраст туриста – одно из чисел: 20, 21, 22, ..., 35 (всего 16 вариантов). А туристов больше. | Верно. | [
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно? | См. задачу 35111. | null | [
"Инварианты",
"Четность и нечетность"
] |
Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав? | Если Петя сделал 50 выстрелов, то 45 пуль он получил за успешные выстрелы. Но для этого ему надо было попасть в цель 9 раз. А он утверждает, что сделал только 8 метких выстрелов. Значит, он неправ. | null | [
"Арифметика. Устный счет и т.п.",
"Уравнения в целых числах"
] |
Какое наименьшее число карточек спортлото (6 из 49) надо купить, чтобы наверняка хоть в одной из них был угадан хоть один номер? | Заполним восемь карточек следующим образом: в первой зачеркнем числа от 1 до 6, во второй – от 7 до 12 и т. д., в последней – от 43 до 48. Не зачеркнутым ни в одной карточке останется только число 49. Поэтому среди выигрышных номеров по крайней мере пять окажутся зачеркнутыми.
Докажем, что семи карточек может н... | 8 карточек. | [
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Два гроссмейстера по очереди ставят на шахматную доску ладьи (за один ход – одну ладью) так, чтобы они не били друг друга. Тот, кто не сможет поставить ладью, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре – первый или второй гроссмейстер? | Поставить ладью на некоторое поле можно тогда и только тогда, когда ни на горизонтали, ни на вертикали, содержащей это поле, не стоит ладьи. Поэтому описанная выше игра равносильна следующей: гроссмейстеры по очереди вычеркивают из набора букв a, b, ..., h и цифр 1, 2, ..., 8 по одной букве и цифре. Очевидно, что как б... | null | [
"Игры-шутки",
"Шахматные доски и шахматные фигуры"
] |
Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна.
Докажите, что сумма их всех тоже положительна. | См. задачу 88320. | null | [
"Линейные неравенства и системы неравенств",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)"
] |
Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя. |
Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9. | null | [
"Признаки делимости на 3 и 9",
"Симметричная стратегия"
] |
Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей? | Обозначим дома буквами A, B, C, D в порядке их следования по окружности. Предположим, колодец вырыт в точке O. Из неравенства треугольника следует, что OA + OC ≥ AC, причём равенство достигается только тогда, когда точка O принадлежит отрезку AC. Аналогично OB + OD ≥ BD, причём равенство имеет место только тогда, к... | В точке пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого являются дома. | [
"Сумма длин диагоналей четырехугольника"
] |
Известно, что число a + 1/a
– целое. Докажите, что число a² + 1/a² – тоже целое. | a² + 1/a² = (a + 1/a)² – 2. | null | [
"Выделение полного квадрата. Суммы квадратов"
] |
В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя? | После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание. | 49 боев. | [
"Турниры и турнирные таблицы"
] |
Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков? | При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. При каждой операции добавлялось по семь ящиков. Поэтому в результате стало 7 + 10·7 = 77 ящиков. | null | [
"Классическая комбинаторика (прочее)",
"Процессы и операции"
] |
Передние покрышки автомобиля "Антилопа Гну" выходят из строя через 25000 км, а задние – через 15000 км. Когда О. Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние? | Первый способ. На восьми парах покрышек (3 парах передних и 5 парах задних) можно проехать 75000 км. Значит, на двух парах покрышек можно проехать максимум четверть этого расстояния – 18750 км. Чтобы при этом обе пары покрышек "отработали" полностью (то есть были в одинаковом положении), их надо сменить на середине ... | Второй способ. Чтобы покрышки сносились полностью одновременно (это, очевидно, самый выгодный вариант), их надо поменять на середине пути. При этом каждая износится на 3/8 в качестве передней и на 5/8 в качестве задней (25000 : 15000 = 5 : 3). Следовательно, эта половина пути составляет 5/8·15000 = 9375 км. | [
"Текстовые задачи (прочее)",
"Средние величины"
] |
В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе? | Количество "дружеских связей" в классе в 3 раза больше числа девочек и в два раза больше числа мальчиков. Значит, число мальчиков относится к числу девочек, как 3 : 2, а общее число учеников делится на 5. С другой стороны, в классе не меньше 31 и не больше 38 учеников. Следовательно, их 35. | 35 человек. | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев",
"Подсчет двумя способами",
"Делимость чисел. Общие свойства"
] |
Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя,
Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали
такой разговор: Беня — Вене: "ты врун"; Женя — Бене: "сам ты
врун"; Сеня — Жене: "да оба они вруны, — (подумав), —
впрочем, ты тоже". Кто из них говорит правду?
| Предположим, Сеня говорит правду. Тогда, согласно его словам, три
остальных гнома — вруны. И, тем самым, фраза Бени является
правдой. Значит, предположение приводит к противоречию, поэтому
Сеня — врун, и его утверждение, что Женя — врун,
является ложным. Отсюда заключаем, что Женя говорит правду. Тем
... | null | [
"Математическая логика (прочее)"
] |
В классе 25 человек. Известно, что среди любых
трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у
которого не менее 12 друзей. | Рассмотрим двоих учеников класса, которые не дружат между собой.
(Если таких нет, то все ученики класса дружат между собой, значит,
у каждого ученика имеется 24 друга, и задача решена.)
Пусть этими двумя будут Вася и Петя. Тогда из оставшихся 23
учеников каждый дружит либо с Васей, либо с Петей. Действи... | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)"
] |
Между соседними лагерями 1 день пути. Экспедиции
требуется перенести 1 банку консервов в лагерь, находящийся в
5 днях пути от базового и вернуться обратно. При этом:
— каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок
консервов;
— за 1 день он съедает 1 банку консервов;
— оставлять консервы можно... | Какое наименьшее количество банок консервов придется взять из
базового лагеря для этой цели?
| null | [
"Процессы и операции"
] |
Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986? | 1986 = 2·3·331. 331 – простое число. Из теоремы о единственности разложения на простые множители следует, что одна из этих цифр делится на 331. Это, очевидно, невозможно. | null | [
"Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители",
"Десятичная система счисления"
] |
Найти две такие обыкновенные дроби – одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13, чтобы они не были равны, но разность между большей и меньшей из них была как можно меньше. | Пусть первая дробь равна x/8, а вторая – y/13. Тогда разность между большей и меньшей из них равна 1/104 |13x – 8y|. В числителе полученной дроби стоит натуральное число. Поэтому она не может быть меньше 1/104. А быть равной 1/104 – может. Для этого нужно, чтобы числитель был равен единице. Это выполняется, если, нап... | null | [
"Обыкновенные дроби"
] |
За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят
пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы
через два человека. Возможно ли это? | а) Пронумеруем все места за столом по кругу и всех
сидящих соответственно занимаемым местам. Будем считать, что нам
удалось всех пересадить требуемым образом. Без ограничения
общности можно считать, что человек 1 остался сидеть на своем
месте. Если это не так, то этого можно добиться поворотом стола;
... | null | [
"Перебор случаев",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась
новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое
сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за
2k – 4 разговора все они могут узнать все новости. | Передача информации может быть осуществлена следующим
образом. Рассмотрим некоторых четверых людей в компании —
назовем их A, B, C, D. Пусть сначала все члены компании,
кроме B, C и D звонят A и сообщают ему свои новости.
Это потребует k – 4 звонка. Затем между собой говорят A и B,
а также C и D. По... | null | [
"Процессы и операции",
"Разбиения на пары и группы; биекции"
] |
Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные
прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое
место середин получившихся хорд. | Искомое геометрическое место середин хорд — это дуга
окружности, построенной на отрезке, соединяющем данную точку и
центр данной окружности, как на диаметре, лежащая внутри данной
окружности (в частности, если точка лежит внутри окружности, то
получается вся окружность). | null | [
"ГМТ - окружность или дуга окружности",
"Диаметр, основные свойства",
"Вписанный угол, опирающийся на диаметр"
] |
Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a² + b² + c²? | a² + b² + c² = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac) = 5² – 2·5 = 15. | null | [
"Формулы сокращенного умножения (прочее)"
] |
Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три,
из которых можно составить треугольник? | Рассмотрим 10 отрезков с длинами 1, 2, 4, …, 512 (каждый
следующий вдвое длиннее предыдущего). Тогда пусть a, b и c
— длины любых трех из данных отрезков, причем a < b < c. Тогда
можно утверждать, что b ≤ ½c,,
a < ½c,. Сложив последние два неравенства, получаем
b + a < c. Согласно
неравенству треуг... | null | [
"Неравенство треугольника (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Квадратная площадь размером 100×100 выложена квадратными плитами 1×1 четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого – так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (то есть не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит? | Разобьём площадь на 2500 квадратиков 2×2, каждый из которых состоит из четырёх плит с общей вершиной. Значит, каждый из этих квадратиков может содержать не более одной красной плиты, и, тем самым, количество красных плит не может превышать 2500. То же верно и для плит других цветов, значит, плит каждого цвета ровно по ... | 2500 плит. | [
"Принцип Дирихле (площадь и объем)",
"Раскраски"
] |
Отметьте несколько точек и несколько прямых так,
чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через
каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые. | См. рис. 18. | null | [
"Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры",
"Выход в пространство"
] |
Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный. | Обозначим наш квадрат ABCD, а данную внутри него точку M. Пусть ∠MDC = ∠MCD = 15°.
Решим обратную задачу. Построим на стороне AB квадрата равносторонний треугольник ABN так, чтобы вершина N лежала внутри квадрата (см. рис.).
| null | [
"Обратный ход",
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.",
"Правильный (равносторонний) треугольник",
"Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства"
] |
a1, a2, a3, a4, a5, a6 – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что a1 – a4 = a3 – a6 = a5 – a2. | Продолжим стороны данного шестиугольника ABCDEF до пересечения друг с другом. Шестиугольник оказался представленным в виде пересечения двух равносторонних треугольников KMO и LNP (см. рис.) со сторонами b и c соответственно. Объединение этих треугольников представляет собой шестиконечную звезду, лучи которой ABK, BCL, ... | null | [
"Шестиугольники",
"Правильный (равносторонний) треугольник",
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле."
] |
"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 "крокодил" – это шахматный конь).
При каких N "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахм... | Будем считать, что рассматриваемая бесконечная шахматная доска,
как и обычная, раскрашена в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Тогда при нечётном N "крокодил" будет ходить только по клеткам одного цвета, и, тем самым не может пройти на любую клетку.
Докажем, что при чётном N "крокодил" может пройти с
кажд... | null | [
"Шахматная раскраска",
"Четность и нечетность",
"Шахматные доски и шахматные фигуры",
"Теория алгоритмов (прочее)"
] |
Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа. | Предположим, что для некоторых натуральных n и k n(n + 1)(n + 2)...(n + 99) = k100.
Тогда n100 < k100 < (n + 99)100, то есть n < k < n + 99. Поэтому число k входит множителем в левую часть исходного равенства. Число k + 1, также входящее множителем в левую часть этого равенства, взаимно просто с k. Поэтом... | null | [
"Произведения и факториалы",
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Доказательство от противного"
] |
Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру? | Оценка. Примем за единицу площадь одной клетки. Данная фигура
представляет собой невыпуклый шестиугольник ABCDEF площади 63 с углом 270° в вершине D (рис. справа). Если фигура разбита на треугольники, то, очевидно, точка D должна принадлежать по крайней мере двум треугольникам, причём у одного из них сторона лежит н... | На 18 треугольников. | [
"Разные задачи на разрезания",
"Принцип Дирихле (площадь и объем)",
"Геометрия на клетчатой бумаге"
] |
a, b, c, d – стороны четырёхугольника (в любом порядке), S – его площадь. Докажите, что S ≤ ½ (ab + cd). | Заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением случая выпуклого четырёхугольника. Действительно, для любого невыпуклого четырёхугольника мы можем построить выпуклый с теми же длинами сторон, но большей площади, отразив две его стороны относительно диагонали, лежащей снаружи (рис. слева). Рассмотрим два случая.
... | null | [
"Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон",
"Симметрия помогает решить задачу",
"Неравенства с площадями",
"Площадь четырехугольника"
] |
Вычислить . | Обозначим x = 198719871987. Знаменатель рассматриваемой дроби равен x² – (x – 1)(x + 1) = x² – (x² – 1) = 1. Значит, величина дроби равна её числителю, то есть 1987. | 1987. | [
"Формулы сокращенного умножения (прочее)",
"Обыкновенные дроби"
] |
Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. | Пусть искомое число содержит n цифр. Тогда оно не меньше чем 10n–1 (это наименьшее n-значное число). С другой стороны, сумма его цифр не больше 9n (так как каждая цифра не больше 9). Поэтому искомое число не превосходит 12•9n = 108n. Но согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)
10n–1 = 1000·5·10n–4 > 200·5... | 108. | [
"Десятичная система счисления",
"Перебор случаев",
"Классические неравенства (прочее)"
] |
Али-Баба пришёл в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов – 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов – 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наиб... | null | 3000 динаров. | [
"Задачи с неравенствами. Разбор случаев",
"Линейные неравенства и системы неравенств"
] |
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках. | Рассмотрим различные случаи расположения четырёх данных точек на плоскости.
1) Четыре данные точки являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Сумма углов этого четырёхугольника равна 360°. Поэтому хотя бы один из его углов не острый. Обозначим вершину, угол при которой не острый, через A. Тогда треугольник с... | null | [
"Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)",
"Сумма внутренних и внешних углов многоугольника",
"Принцип Дирихле (углы и длины)",
"Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.",
"Перебор случаев"
] |
Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если a² + 9ab + b² делится на 11, то и a² – b² делится на 11. | a² + 9ab + b² = (a – b)² + 11ab. Отсюда следует, что на 11 делится (a – b)². Поскольку 11 – число простое, то на 11 делится и a² – b² = (a – b)(a + b). | null | [
"Делимость чисел. Общие свойства",
"Тождественные преобразования",
"Простые числа и их свойства"
] |
На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках? | См. задачу 77913. | 42 – пятое число Каталана. | [
"Числа Каталана",
"Рекуррентные соотношения (прочее)",
"Системы точек и отрезков (прочее)"
] |
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них? | Лемма. Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда
а) прямая, параллельная стороне треугольника и проходящая через точку M, разбивает его на треугольник и трапецию, отношение площадей которых равно 4 : 5;
б) любая другая прямая, проходящая через точку M, разбивает его на части, отношение площа... | Из леммы следует, что если брат укажет на торте точку пересечения медиан, то тем самым добьётся, что сестра получит не более 5/9 торта.
Докажем теперь, что независимо от указанной братом точки, сестра сможет отрезать себе не менее 5/9 торта. Проведём для этого через точку O, указанную братом, три прямые, паралле... | [
"Медиана делит площадь пополам",
"Отношение площадей подобных треугольников",
"Гомотетия помогает решить задачу",
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами",
"Неравенства с площадями"
] |
В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать? | Обозначим квадрат пруда ABCD, его центр O. Предположим, учитель подошёл к вершине C. Будем обозначать положение ученика точкой M, а учителя – точкой U. Пусть M1 и
M2 – проекции точки M на стороны AB и AD соответственно, а U1 – точка, симметричная U
относительно O (см. рис.).
| Сможет. | [
"Задачи на движение",
"Центральная симметрия помогает решить задачу",
"Ломаные внутри квадрата",
"Теория игр (прочее)"
] |
Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причём m и n не имеют общих делителей и m < n. Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить
а) единицу;
б) любое целое число от 1 до n. | Заметим, что среднее арифметическое двух целых чисел является целым тогда и только тогда, когда они одной чётности (то есть оба чётные или оба нечётные). Поскольку компьютер может оперировать лишь с целыми числами, то можно считать, что разрешается брать среднее арифметическое чисел одной чётности.
Будем называт... | null | [
"Средние величины",
"Четность и нечетность",
"Теория алгоритмов (прочее)",
"НОД и НОК. Взаимная простота"
] |
Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо 37 шагов влево, либо 47 шагов вправо.
За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки? | Фактически, требуется найти решение уравнения 47x – 37y = 1 (*) в целых неотрицательных числах с наименьшей суммой x + y.
Одно из решений этого уравнения – x = 26, y = 33. Пусть (x, y) – другое целочисленное решение этого уравнения. Вычтя из равенства (*) равенство 47·26 – 37·33 = 1, получаем 47(x –... | За 59 минут. | [
"Уравнения в целых числах",
"Делимость чисел. Общие свойства"
] |
Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны. | Индукцией по n докажем более сильное утверждение:
если многочлен степени n принимает рациональные значения в n + 1 рациональной точке, то его коэффициенты рациональны.
База. Для любого многочлена нулевой степени (константы) утверждение очевидно.
Шаг индукции. Пусть многочлен P(x) степени n принимае... | null | [
"Свойства коэффициентов многочлена",
"Рациональные и иррациональные числа",
"Целочисленные и целозначные многочлены",
"Индукция (прочее)",
"Интерполяционный многочлен Лагранжа",
"Интерполяционный многочлен Ньютона"
] |
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга? | Очевидно, что в каждом столбике из восьми кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя.
Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введём систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку (x... | 64 ладьи. | [
"Шахматные доски и шахматные фигуры",
"Арифметика остатков (прочее)",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Докажите, что существует число, сумма цифр
квадрата которого более, чем в 1000 раз превышает сумму цифр
самого числа. | Таким числом будет . В его
десятичной записи единицы стоят в разрядах с номерами 1, 2, 4, 8,
…, 2¹ººº (разряды мы считаем справа, то есть разряд единиц
имеет номер 1, десятков — 2 и т.д.), а остальные цифры — нули.
Сумма цифр числа равна 1001. При возведении этого числа в квадрат
мы получим единицы ... | null | [
"Десятичная система счисления",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ
отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей
треугольников больше площади пятиугольника. | Будем двигать вершину A данного пятиугольника ABCDE
параллельно диагонали BE. При этом площадь треугольника BEA и,
тем самым, пятиугольника ABCDE не меняется. Действительно,
основаниями всех получаемых при движении треугольников будет
отрезок BE, а высоты равны между собой. Из всех рассматриваемых
т... | null | [
"Пятиугольники",
"Неравенства с площадями",
"Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой",
"Перенос помогает решить задачу",
"Монотонность и ограниченность"
] |
В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M×K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1.
Докажите, что M = K. | Найдём сумму всех чисел таблицы двумя способами. Поскольку таблица содержит M строк и сумма чисел каждой строки равна 1, то вся сумма равна M. Аналогично, считая эту же сумму по столбцам, получим в результате K. | null | [
"Числовые таблицы и их свойства",
"Подсчет двумя способами"
] |
В круге отметили точку. Разрежьте круг на а) три; б) две части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре. | a) Нужно вырезать из круга два маленьких равных кружка – один с центром в центре круга, а другой с центром в отмеченной точке, и затем поменять эти кружки местами. | null | [
"Разрезания на части, обладающие специальными свойствами",
"Круг, сектор, сегмент и проч."
] |
Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу? | Пронумеруем три квадрата, из которых состоит фигура. Начнём рисовать первый квадрат с любой его точки до тех пор, пока не дойдём до точки пересечения со вторым квадратом. Затем прерываем обход первого квадрата и рисуем второй до тех пор, пока не дойдём до его точки пересечения с третьим. Затем рисуем полностью третий к... | [
"Обход графов",
"Наглядная геометрия"
] | |
Прямая раскрашена в два цвета.
Докажите, что на ней найдутся такие три точки A, B и C, окрашенные в один цвет, что точка B является серединой отрезка AC. | Рассмотрим на прямой две произвольные точки X и Y одного цвета, а также точку X1, симметричную X относительно Y, точку Y1, симметричную Y относительно X и середину O отрезка XY (см. рис.). Если хотя бы одна из этих точек окрашена в тот же цвет, что и точки X и Y, то она вместе с ними образует искомую тройку. Если все э... | null | [
"Раскраски",
"Центральная симметрия помогает решить задачу",
"Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)"
] |
Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K. | Запишем неравенство в виде 1 – K < (1 – A)(1 – B)(1 – C). Теперь оно очевидно, так как в правой части положительное число 1 – K умножается на положительное число, меньшее единицы. | null | [
"Системы алгебраических неравенств"
] |
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника. | Обозначим стороны треугольника a, b и c так, что высоты, опущенные на стороны a и b, не меньше этих сторон. По условию ha ≥ a, hb ≥ b. Поскольку перпендикуляр является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, то a ≤ ha ≤ b ≤ hb ≤ a, откуда a = b = ha = hb.
Условие a = b означает, что треугольник равноб... | 90°, 45°, 45°. | [
"Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников",
"Прямоугольные треугольники (прочее)",
"Неравенства с высотами"
] |
На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть по... | Будем называть два треугольника параллельными, если какая-то сторона одного из них параллельна какой-то стороне другого. Ясно, что тогда и каждая сторона одного из них параллельна некоторой стороне другого. Поэтому параллельность на множестве равносторонних треугольников на плоскости является отношением эквивалентно... | Поскольку каждый треугольник может иметь общий участок стороны только с параллельным ему треугольником, то раскраску можно производить для каждого "класса параллельности" независимо. Покажем, как покрасить в два цвета, удовлетворяя условиям задачи, треугольники одного "класса параллельности".
Введём для этого на "кл... | [
"Раскраски",
"Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности",
"Правильный (равносторонний) треугольник"
] |
Доказать неравенство . | Достаточно сложить 1988 неравенств вида | null | [
"Неравенство Коши",
"Классические неравенства (прочее)",
"Квадратичные неравенства (несколько переменных)"
] |
В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:
1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, иду... | б) Пусть мы имеем Мумбу-Юмбовское слово, состоящее не менее чем из четырёх букв. Если в слове есть две одинаковые буквы, идущие подряд, то их можно выкинуть. В противном случае в этом слове буквы чередуются. Значит, начало этого слова имеет вид либо АБАБ, либо БАБА. Начало АБАБ можно заменить на БАББ и далее на боле... | а) Предположим, что дикарь, произнося любое слово, исполняет параллельно ритуальный танец следующим образом. На земле нарисован круг, разделённый на шесть равных секторов, один из которых отмечен. Обозначим три прямые, делящие круг, через a, b и c так, что выделенный сектор ограничен прямыми a и b. Дикарь становится... | [
"Процессы и операции",
"Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения",
"Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности"
] |
У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина о... | null | 7 тремпончиков. | [
"Обратный ход",
"Арифметика. Устный счет и т.п.",
"Текстовые задачи (прочее)",
"Итерации"
] |
На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников приш... | Рассмотрим сумму количеств участников по всем пяти конкурсам. Эта сумма нечётна, так как на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников.
С другой стороны, это же число можно получить, сложив для каждого школьника количество конкурсов, в которых он участвовал. Поскольку сумма нечётна и все слагаемые н... | Нечётное. | [
"Четность и нечетность",
"Подсчет двумя способами"
] |
Один из пяти братьев испек маме пирог. Андрей сказал:
"Это Витя или Толя". Витя сказал: "Это сделал не я и не Юра".
Толя сказал: "Вы оба шутите". Дима сказал: "Нет, один из них сказал правду, а другой — нет". Юра сказал: "Нет Дима, ты не прав". Мама знает, что трое из ее сыновей всегда говорят правду. Кто испек... | Рассмотрим отдельно три возможных случая. | null | [
"Математическая логика (прочее)"
] |
Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы
которого лежат на данных окружностях, а середина — в данной
точке. | При центральной симметрии относительно середины
отрезка один его конец переходит в другой. На этом очевидном
замечании и базируется требуемое построение. Отобразим одну из
данных окружностей симметрично относительно данной точки
(см. рис.). Точка пересечения образа этой окружности со второй
окружнос... | null | [
"Центральная симметрия помогает решить задачу",
"Окружности (построения)",
"Свойства симметрии и центра симметрии",
"Пересекающиеся окружности"
] |
По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь из них? | Сумма чисел, названных всеми мальчиками, должна равняться сумме чисел, названных всеми девочками. Действительно, обе эти суммы должны равняться количеству пар, образовавшихся во время конкурса. Поскольку сумма всех названных чисел равна 74, то каждая из сумм чисел, названных мальчиками и девочками в отдельности, дол... | null | [
"Подсчет двумя способами",
"Деление с остатком"
] |
Восстановите а) треугольник; б) пятиугольник по серединам его сторон. | а) Пусть ABC – искомый треугольник, A', B', C' – данные середины его сторон BC, CA и AB соответственно (рис. слева). Тогда AB || A'B', BC || B'C',
AC || A'C'.
Через точку A' проведём прямую a || B'C', через точку B' – прямую b || A'C', через точку C' – прямую c || A'B'. Треугольник ABC, ограниченный прям... | null | [
"Построение треугольников по различным точкам",
"Средняя линия треугольника",
"Векторы помогают решить задачу",
"Пятиугольники"
] |
Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989. | См. задачу 34968. | null | [
"Принцип Дирихле (прочее)",
"Деление с остатком",
"Десятичная система счисления"
] |
Каков наибольший возможный общий делитель чисел 9m + 7n и 3m + 2n, если числа m и n не имеют общих делителей, кроме единицы? | Любой общий делитель чисел 9m + 7n и 3m + 2n должен быть также делителем чисел (9m + 7n) – 3(3m + 2n) = n и 7(3m + 2n) – 2(9m + 7n) = 3m. Поскольку числа m и n взаимно просты, то любой общий делитель чисел n и 3m должен быть делителем числа 3, то есть не может быть больше 3.
Это значение возможно: при m... | 3. | [
"НОД и НОК. Взаимная простота",
"Линейная и полилинейная алгебра"
] |
Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон? | Пусть a1, a2, a3, ... – выписанные в ряд все натуральные числа без единицы. Построим для этого новую последовательность (bn) натуральных чисел, заданную следующим образом: b1 = 1, bn+1 = abn при n ≥ 2.
Докажем, что все члены последовательности (bn) различны. Действительно, пусть bk = bm , причём k > m > 1,... | Хвастает. | [
"Рекуррентные соотношения (прочее)",
"Доказательство от противного",
"Последовательности (прочее)"
] |
Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных. | Докажем, что любое простое число p > 11 представляется в виде суммы двух составных. Поскольку любое такое число нечётно, то число p – 9 чётно и, следовательно, составное. Поэтому p = (p – 9) + 9 – искомое представление.
С другой стороны, непосредственно проверяется, что числа 2, 3, 5, 7 и 11 не представимы... | null | [
"Простые числа и их свойства",
"Четность и нечетность"
] |
Пусть a, b, c – длины сторон треугольника; α, β, γ – величины противолежащих углов. Докажите, что
aα + bβ + cγ ≥ aβ + bγ + cα. | Поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, утверждение задачи представляет собой частный случай транснеравенства (см. задачу 61385). | null | [
"Неравенства с углами",
"Против большей стороны лежит больший угол",
"Упорядочивание по возрастанию (убыванию)",
"Классические неравенства (прочее)"
] |
На некотором острове 15 государств. У каждого из них хотя бы одно соседнее государство дружественное. Докажите, что найдётся государство, у которого чётное число дружественных соседей. (Два государства называются соседними, если у них имеется целый кусок общей границы.) | См. задачу 87972 б). | null | [
"Четность и нечетность",
"Степень вершины"
] |
Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги? | Задача сводится к решению в натуральных числах уравнения x² – y² = 124, которое можно переписать в виде (x – y)(x + y) = 124. Хотя бы один из множителей левой части чётен, поэтому x и y имеют одинаковую четность, значит, оба числа x – y и x + y чётны. Единственный способ разложить число 124 на два чётных сомнож... | 32² = 1024 клетки. | [
"Уравнения в целых числах",
"Разложение на множители",
"Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита"
] |
Можно ли на плоскости нарисовать 12 окружностей так, чтобы каждая касалась ровно пяти других? | Требуемое расположение показано на рисунке.
| Можно. | [
"Касающиеся окружности",
"Примеры и контрпримеры. Конструкции"
] |
В таблице 10×10 по порядку расставлены числа от 0 до 99 (в первой строке – от 0 до 9, во второй – от 10 до 19 и т.д.). Затем перед каждым из чисел поставлен знак "+" или "–" так, что в каждой строке и каждом столбце оказалось по пять знаков "+" и пять знаков "–". | См. задачу 97957. | null | [
"Числовые таблицы и их свойства",
"Подсчет двумя способами",
"Разбиения на пары и группы; биекции",
"Десятичная система счисления"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.